Forma Trigonométrica

A forma trigonométrica dos números complexos surge através da representação geométrica, ou seja, o plano de Argand-Gauss. Neste plano, a parte real é representada pelo eixo das abcissas (Eixo Real) e a parte imaginária pelo eixo das ordenadas (Eixo Imaginário). Como é ilustrado abaixo pelo número complexo z = a + bi. Este número complexo z é representado pelo ponto P.

No Plano de Gauss, podemos nos familiarizar com um vetor (com origem em O e o outro extremo em P), e assim seu tamanho é o módulo que está representado pela letra grega p (Rô). Que relação pode se tirar deste desenho abaixo?

Utilizando um famoso teorema da matemática encontramos algumas relações. Qual é este teorema? Com o teorema de Pitágoras conseguimos descobrir que p² = a² + b². Além disto, utilizando a trigonometria sabemos que seno de ômega é igual a “b dividido pelo p”. O cosseno de ômega é igual a “a dividido pelo p”. Isolando o "a" e o "b", temos: a = p cos θ (p multiplicado pelo cosseno de ômega) e b = p sen θ (p multiplicado pelo seno de ômega). Logo, substituindo as expressões:

z = a + bi fica igual à z = p cos  θ  + (p sen θ) i. Colocando em evidência o p temos:

z = p (cos θ + i sen θ)

Aonde que:

     cos θ = a/p

     sen θ = b/p

O ângulo θ recebeu a denominação de argumento de z, simbolicamente, θ = arg(Z). Agora, reflita que relação tem com os vetores? Será que existe alguma relação com as coordenadas polares? Podemos perceber que existe uma relação, pois o número complexo depende do tamanho do "vetor" (ou seja, o módulo de p) e do ângulo dele, estes são os elementos das coordenadas polares (|p|, θ).

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Relembrando:

Vetor é uma entidade matemática que define grandezas que se caracterizam por módulo, direção e sentido, como por exemplo, velocidade e força.

 Um vetor é representado por um segmento de reta orientado. O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal, o sentido é dado pela seta.

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Segue abaixo um link que tem um programa que apresenta um plano de Gauss e já apresenta os valores de a e b, além do argumento do número complexo. Através deste link, os estudantes podem criar situações, analisar os valores e tirar algumas conclusões importantes. Este é um software desenvolvido pelo Instituto Goiano de Matemática.

Módulo e argumento denúmeros complexos

Além deste software, para aqueles que têm dificuldade de fazer a transformação da forma algébrica para a trigonométrica, existe este outro software do Instituo Goiano de Matemática. Onde que os estudantes podem fazer algumas comparações entre o link acima e este abaixo.

Coordenadasalgébricas e polares de números complexos

Portanto, através deste texto fica fácil de ver como se desenvolveu a forma trigonométrica dos números complexos. Esta maneira de escrever o número z é a Forma Polar. Para finalizar, proponho que vocês acessem o link abaixo e realizem as atividades. Este é software da UNICAMP, ele tem finalidade de estudar os triângulos, mas através dele conseguimos relacionar os números complexos.

Movimentos Complexos

Os exercícios são construtivos e dinâmicos. Propondo uma atividade interessante e sem repetição de exercícios, o que deixa o software mais interessante. Com estas atividades, provavelmente algumas dúvidas que surgiram durante o texto acima serão sanadas, pois ele é um programa educacional fazendo com que o estudante relacione os conteúdos e tire suas conclusões.

Referências:

Disponível em: <http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=309%3Afpolar&catid=38%3Aconteudosfvc&Itemid=40>. Acesso em: 27 de mar. 2012.

Disponível em: <http://mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/complexos_trigonometria-web/complexos_trigonometria_leitura_complexos_trigonometria_tarefa_1.htm>. Acesso em: 27 de mar. 2012.

Disponível em: <http://mkmouse.com.br/livros/NumerosComplexos.pdf>. Acesso em: 27 de mar. 2012.