Origem dos Números Complexos

Nesta página iremos viajar no tempo. Vou trazer um pouco de história e convido a vocês a entrarem neste mundo. Especificamente vamos conhecer o trabalho de alguns matemáticos importantes viveram em diversas épocas, mas que eles têm algumas coisas em comum. Além de gostar da Matemática, eles ajudaram a construir os conceitos dos Números Complexos. Prontos para a viagem?

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O conceito de número complexo se desenvolveu gradativamente, como ocorreu com os demais tipos de números. Algumas equações do grau 2, como x² + 1 =0 não haviam solução até o século XVI, pois para os matemáticos da época a raiz negativa não existia. Porém, não foi este o motivo pelo qual os números complexos surgiram. Ao passar dos anos, alguns matemáticos viram o mesmo problema para equações do 3º, onde que se percebeu que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação.

Curiosidade: os números complexos surgiram na época do Renascimento, onde a Europa estava se recuperando da peste negra e tinha um forte influência do Humanismo. A matemática grega não era compreendida, pois poucos sabiam ler grego e era um assunto complexo. Assim, os europeus acabaram seguindo para outros ramos e continuaram a difundir a Matemática.

Para resolver este problema, alguns matemáticos europeus, principalmente italianos desenvolveram pesquisas, e houve algumas disputas. Antes das lutas, os números complexos começaram a ser desenvolvidos por Scipione dal Ferro. Ferro desenvolveu uma teria para a solução das equações do tipo x³ + px + q = 0, mas acabou não publicando sua teoria.

Porque os matemáticos não divulgavam suas teorias? Nesta época os matemáticos tinham costume de desafiar outros matemáticos, para se mostrar algumas vezes mais inteligentes. Outra hipótese seria o medo de outro matemático encontrar algum erro na fórmula, e assim surgiram alguns problemas sobre a notoriedade de algumas teorias. Antonio Maria Fior conheceu a teoria de Ferro e ampliou para as equações do tipo x³ + px² + q = 0. Fior acabou desafiando o jovem Niccolò Fontana, conhecido como Tartaglia a resolver 30 equações de grau 3. Para a surpresa de Fior, Tartaglia conseguiu resolver os problemas. Com muita dedicação e esforço, Tartaglia procurou um método para a resolução destas equações e acabou encontrando. Por este motivo, ele acabou vencendo todas as disputas com Fior.

Tartaglia

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Neste momento, chega aos ouvidos de Girolamo Cardano que Tartaglia sabia resolver tal tipo de equação. Cardano implorou a “fórmula” para resolver estas equações. Tartaglia recusou e acabou sendo acusado de mesquinho e egoísta. Com a insistência de Cardano e jurando que não divulgaria o resultado, Tartaglia revelou a solução. Porém, Cardano não cumpriu com sua palavra, e em 1545 fez a publicação no livro Ars Magna com o seguinte problema: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”, e o resolve através dos radicais de maneira similar as equações de 2º grau. Ele somente fez uma menção de Tartaglia na sua obra e até hoje a fórmula é conhecida como “Fórmula de Cardano”. Esta descoberta foi tão inusitada que ficou conhecida como o início da matemática moderna.

  

Cardano

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Após esta “luta” surge um problema inquietante que Cardano trouxe conhecido na época como números “sofisticados”, ou seja, as raízes quadradas de números negativos. Cardano concluiu que estas raízes seriam um número “tão sutil quando inútil”. Ao passar dos anos seria provado que estes números não eram inúteis como Cardano achava (BOYER, 1996, p. 197). Mas, como resolver o problema dos números  “sofisticados”? O que fazer com estes números? Fica evidente que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação. Assim, seguiram a mesma ideia que os pitagóricos seguiram quando descobriram o número raiz quadrada de 2. Neste momento da história, se introduz a ideia de aceitar o imaginário, e não somente o real.

Rafael Bombelli surge para trabalhar com este problema e mostrou que ao conhecer uma raiz de uma equação cúbica, conseguimos encontrar as outras duas. Por exemplo, se x = 4. Sabemos que a soma das outras duas raízes deve ser 4, logo a parte real da equação é 2. Bombelli teve a ideia de somar um número imaginário a esta parte real, e na outra raiz somar o inverso relativo à adição deste número imaginário. Mais tarde, essa teoria vai ficar conhecida como raiz conjugada.

René Descartes escreveu no seu livro Géométrie a seguinte frase: “Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias”. Com esta citação ficou definido que o número raiz quadrada de -1 seria chamado de número imaginário e que poderia ser manipulado de acordo com as regras da álgebra. (GARBI, 1997, p. 75).

  

Descartes

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Abraham de Moivre foi um grande matemático e ficou conhecido pela fórmula de Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria. O Teorema de Moivre é (cos θ + i sen θ)^n (elevado na n) = cos (nθ) + i sen(nθ). Provavelmente Moivre descobriu esta relação em 1707.

Tudo na matemática possui uma simbologia, seja o sinal de divisão, seja uma integral, então como ficariam definidos estes números imaginários? Foi Leonhard Euler, sim este mesmo que tem o número e em sua memória. Além disto, Euler criou vários símbolos, assim  à  raiz quadrada de -1 seria simbolizada por i, em 1777. Segundo Euler, os números complexos também podem possuir uma parte real. Logo, o número complexo é do tipo: z = a + ib, onde a e b são números reais e i² = -1, mas esta ideia só foi aceita quando Gauss introduziu esta ideia. Euler ainda mostrou que os números complexos são um corpo fechado, pois aplicando qualquer operação transcendente resultará num número complexo.

Euler

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Em 1797, Caspar Wessel trabalhou geometricamente os números complexos, fazendo uma correspondência objetiva entre estes e os pontos do plano, mas somente foi publicado em 1806, por Jean Argand. Hoje, Argand recebe o mérito por esta representação. Em 1798 o matemático  Carl Friedrich Gauss demonstrou em sua tese de doutorado que toda equação algébrica de grau n (n > 0) e coeficientes complexos, tem pelo menos uma raiz complexa. Esse é o chamado Teorema Fundamental da Álgebra. Tal teorema resolveu a questão das soluções de equações algébricas.

Em 1831, Gauss retomou a ideia Argand e pensou nos números a + b(raiz -1), como coordenadas de um ponto em um plano cartesiano, tendo assim (a, b). Deu-se também uma interpretação geométrica para a adição e multiplicação dos símbolos. Esta representação geométrica “fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade quanto aos números imaginários, pois estes agora podiam ser visualizados no sentido de que cada ponto no plano corresponde a um número complexo e vice versa” (BOYER, 1996, p. 350). E para finalizar, em 1832, Gauss introduz a expressão número complexo.

  

Gauss

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Segue abaixo um vídeo que fala um pouco sobre os números imaginários e sobre o Gauss.

Em 1837, Sir Willian Rowan Hamilton chegou ao final dessas descobertas reconhecendo os números complexos como um par ordenado de números reais e reescreveu as definições geométricas de Gauss na forma algébrica.

Para finalizar, abaixo segue uma linha do tempo que mostra os principais fatos que desenvolveram os números complexos.

Tartaglia (cerca de 1500-1557)	Cardano (1501-1576)	Bombelli (cerca de 1526-1573)	Euler (1707-1783)	Gauss  (1777-1855)
Descobriu uma fórmula geral para resolver equações do tipo x³ + px =q, com p, q sendo números Reais. Mas, acabou não publicando sua obra.	Quebrou um juramento feito a Tartaglia, apresentando a fórmula de Tartaglia na sua obra Ars Magna. Surge o impasse da raiz quadrada de um número negativo.	Prosseguiu com a solução encontrada por Cardano, considerou a raiz quadrada de -1 como um número "imaginário" e desenvolveu regras para trabalhar com esse tipo de número.	Usou pela primeira vez o símbolo i para representar a raiz quadrada de -1.	Fez um estudo da representação geométrica dos números complexos. Em, 1832 Gauss introduzi a expressão número complexo.

Descobriu uma fórmula geral para resolver equações do tipo x³ + px = q, com p, q sendo números Reais. Mas, acabou não publicando sua obra. Quebrou um juramento feito a Tartaglia, apresentando a fórmula de Tartaglia na sua obra Ars Magna.

Surge o impasse da raiz quadrada de um número negativo.  Prosseguiu com a solução encontrada por Cardano, considerou a raiz quadrada de -1 como um número "imaginário" e desenvolveu regras para trabalhar com esse tipo de número. Usou pela primeira vez o símbolo i para representar a raiz quadrada de -1. Fez um estudo da representação geométrica dos números complexos. Em, 1832 Gauss introduzi a expressão número complexo.

Agora reflita, será que o número 1 pode ser complexo? Será que qualquer número real é complexo? A resposta é sim, como vimos a e b são números reais, sendo deste tipo eles podem assumir o valor zero, tendo assim que a parte imaginária seria 0i, ficando somente a parte real. Bom, os números naturais possuem a simbologia de N, os inteiros de I, logo os complexos são denotados por C.

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Curiosidade:

Você sabia que neste conjunto dos números complexos não existe relação de ordem, ou seja, não existe número complexo maior que outro.

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Hoje, a teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade, onde veremos isto mais adiante. Para quem quiser saber mais sobre a origem dos números complexos, indico o terceiro site. Neste site explica detalhadamente cada etapa da construção deste número. Além do ótimo livro do Garbi que explica muito bem todo o desenvolvimento dos números complexos.

Referências:

BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. SP: Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.

GARBI, Gilberto Geraldo. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997.

Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf>. Acesso em: 12 de mar. 2012.

Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/complexoshistoria.htm>. Acesso em: 12 de mar. 2012.

Disponível em: <http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/12%20Ulicio%20Pinto.pdf>. Acesso em: 13 de mar. 2012.

Disponível em: <http://www.educairani.com/artigos/numerosimaginarios.pdf>. Acesso em: 13 de mar. 2012.